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一、题文
若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f()=f(x)-f(y).(1)求f(1)的值;(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f()
二、解答
参考答案1解析:∵A={1,2,3},B={2,3,4},∴A∩B={2,3}.又U={1,2,3,4,5},∴(A∩B)={1,4,5}.答案:B2解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)·f(-x)=-[f(x)]2<0(f(x)≠0).答案:B3解析:A、B、D都表示元素是1的集合,C表示元素为“x=1”的集合.答案:C4解析:根据区间的定义知只有⑤能用区间表示,其余均不能用区间表示.答案:D5解析:根据函数的概念知,只有“一对一”或“多对一”对应才能构成函数关系.答案:A6解析:g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1,∴g(x)=2x-1.答案:B7解析:y=3-x在(0,2)上为减函数;y=在(0,2)上为减函数;y=-|x|在(0,2)上为减函数.答案:B8解析:∵x=-2,而-2<0,∴f(-2)=(-2)2=4.又4>0,∴f[f(-2)]=f(4)=4.答案:C9解析:∵={x|-3≤x<2},∴()∩B={x|-1
答案:C10解析:由定义域可以排除①(因为定义域只包含一个元素1,而不包含-1),②(因为x可取1,不可取-1);用f(-x)≠-f(x)可排除③,④中分子的隐含条件为-1≤x≤1,所以x+2>0,y=为奇函数.答案:A11解析:∵函数f(x+3)的定义域为[-5,-2],即-5≤x≤-2,∴-2≤x+3≤1,∴.∴-1≤x≤0.∴F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域为[-1,0].答案:[-1,0]12解析:由∈Z,且m∈Z,知m+1是10的约数,故(m+1)=1,2,5,10.从而m的值为-11,-6,-3,-2,0,1,4,9.答案:{-11,-6,-3,-2,0,1,4,9}13解析:由集合相等的定义知, 或解得或又x,y是整数,所以x=2,y=5.答案:2 514解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=kx2-(k-1)x+2=kx2+(k-1)x+2=f(x).∴k=1.∴f(x)=x2+2,其递减区间为(-∞,0].答案:(-∞,0]15解:(1)A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|1
={x|x<2或x>8}.∴()∩B={x|1
(2)∵A∩C≠,∴a<8.16解:f(x)=在(-∞,0)上单调递增.任取x1、x2,且x1
2<0,f(x1)-f(x2)=.∵x2-x1>0,x1+x2<0,1+x12>0,1+x22>0,∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)
2).∴f(x)在(-∞,0)上单调递增.17解:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-0)=-f(0).∴f(0)=0,设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-x(1-x).又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-x(1-x).∴f(x)=x(1-x).∴f(x)=x(1-x),x<0,0,x=0,x(1+x),x>0.18解:(1)在f()=f(x)-f(y)中,令x=y=1,则有f(1)=f(1)-f(1),∴f(1)=0.(2)∵f(6)=1,∴f(x+3)-f()<2=f(6)+f(6).∴f(3x+9)-f(6)
∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,∴解得-3
即不等式的解集为(-3,9).
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